Teorema de pitagoras y funciones trigonometricas

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Teorema de pitagoras y funciones trigonometricas

Ejemplos de identidades pitagóricas con respuestas

La identidad trigonométrica pitagórica, también llamada simplemente identidad pitagórica, es una identidad que expresa el teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas. Junto con las fórmulas de suma de ángulos, es una de las relaciones básicas entre las funciones seno y coseno.

Cualquier triángulo semejante tiene la propiedad de que si seleccionamos el mismo ángulo en todos ellos, la razón de los dos lados que definen el ángulo es la misma independientemente del triángulo semejante que se seleccione, sin importar su tamaño real: las razones dependen de los tres ángulos, no de las longitudes de los lados. Así, para cualquiera de los triángulos rectángulos semejantes de la figura, la relación entre su lado horizontal y su hipotenusa es la misma, es decir, cos θ.

Como alternativa, se pueden emplear las identidades que se encuentran en Simetría trigonométrica, desplazamientos y periodicidad. Mediante las identidades de periodicidad podemos decir que si la fórmula es cierta para -π < θ ≤ π entonces es cierta para todo θ real. A continuación probamos el rango π/2 < θ ≤ π, para ello dejamos que t = θ – π/2, t estará ahora en el rango 0 < t ≤ π/2. Podemos entonces hacer uso de las versiones al cuadrado de algunas identidades de desplazamiento básicas (al elevar al cuadrado se eliminan convenientemente los signos menos):

Prueba del teorema trigonométrico

En este artículo aprenderemos a utilizar las identidades pitagóricas para hallar los valores de las funciones trigonométricas. Estos valores de las funciones trigonométricas se evalúan a menudo mediante la aplicación de una o más identidades pitagóricas, que relacionan las diferentes funciones trigonométricas y recíprocas.Las identidades trigonométricas tienen varias aplicaciones en el mundo real en diversos campos como la física, la ingeniería, la arquitectura, la robótica, la teoría musical y la navegación, por nombrar algunos. En física, pueden utilizarse en el movimiento de proyectiles, en la modelización de la mecánica de las ondas electromagnéticas, en el análisis de corrientes alternas y continuas, y en la búsqueda de la trayectoria de una masa alrededor de un cuerpo masivo bajo la fuerza de la gravedad.Comencemos recordando las funciones trigonométricas, cuyas identidades pitagóricas examinaremos en este explicador. Consideremos un triángulo rectángulo: Las funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de la razón de los lados del triángulo como

tansincos=.Observamos que estas razones trigonométricas están definidas para ángulos agudos 0<<90∘∘, y las funciones trigonométricas para todos los valores de están definidas en la circunferencia unitaria.Supongamos que un punto se mueve a lo largo de la circunferencia unitaria en el sentido contrario a las agujas del reloj. En una posición particular (,) en el círculo unitario con ángulo , la función seno se define como =sin y la función coseno como =cos, como se muestra en el diagrama anterior. En otras palabras, las funciones trigonométricas se definen utilizando las coordenadas del punto de intersección del círculo unitario con el lado terminal de en la posición estándar.Las ecuaciones trigonométricas recíprocas se definen en términos de las ecuaciones trigonométricas estándar como sigue.Definición: Funciones trigonométricas recíprocasLas funciones cosecante, secante y cotangente se definen como

¿cuáles son las tres identidades pitagóricas?

El teorema de Pitágoras afirma que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (los dos lados más cortos).

Hay varios métodos para encontrar los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos. Es posible que te hayan enseñado y utilices uno diferente al que se muestra a continuación. Todos producen las mismas respuestas si se hacen correctamente.

Haz clic aquí para ver una actividad que muestra el seno como función circular.Haz clic aquí para ver una actividad que muestra el coseno como función circular.Haz clic aquí para ver una actividad que muestra la tangente como función circular.

Los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos se pueden encontrar utilizando las razones trigonométricas. Para cada problema hay que escribir la información dada y sustituirla por una de las razones, que luego se puede resolver como una ecuación.

Funciones trigonométricas inversas

En un triángulo rectángulo, el lado más largo es siempre el más alejado del ángulo recto. Se llama hipotenusa. La longitud de la hipotenusa se puede calcular a partir de las longitudes de los otros dos lados. En el diagrama, c es la hipotenusa y podemos calcularla a partir de a y b.

También podemos mostrar esta ecuación con un diagrama, como el de la derecha, en el que cada lado de un triángulo rectángulo tiene un cuadrado unido a él. Ésta es la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras, considerando el teorema como un teorema sobre áreas. Las áreas de los cuadrados menores se suman al área del cuadrado mayor.

En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los dos catetos (los dos lados que se encuentran en un ángulo recto).

El teorema de Pitágoras debe su nombre al matemático griego Pitágoras, a quien la tradición atribuye su descubrimiento y demostración,[2][3] aunque a menudo se argumenta que el conocimiento del teorema es anterior a él. Hay muchas pruebas de que los matemáticos babilónicos conocían la fórmula[4].